무차별곡선, 준선형 효용함수

목차

무차별곡선의 성질
소비자의 예산선
소비자의 효용극대화
가격효과
콥-더글라스 효용함수
2기간 최적소비 선택모형
여가-소득 선택모형
열등재
기펜재
완전대체재의 최적소비
완전보완재의 최적소비
준선형 효용함수
기대효용이론
현시선호이론
현금보조 vs 현물보조 vs 가격보조
지수와 후생증감

무차별곡선

정의

• 동일한 효용을 얻을 수 있는
• X재 소비량와 Y재 소비량의 조합을 나타내는 선

성질

• 우하향의 기울기 (함수의 기울기가 음수이다)
• 원점에서 멀어질수록 더 높은 효용
• 한 개인의 무차별곡선은 서로 교차할 수 없다
• 일반적으로 원점에 대해 볼록하다
• (=Qx 감소 Qy 증가, 한계대체율 체감)
• 급경사일수록 X재를 더 선호함

의미

효용함수는
특정 재화나 서비스의 [소비량]과
그 소비로부터 얻는 [효용]의 관계를
함수의 형태로 표현한 것
(출처: 이규명의 경제학 카페 5 / 소비자의 선택-효용과 제약)이다.

무차별곡선은
여러 X재의 소비량과 Y재의 소비량의 조합 중
동일한 효용(무차별)을 갖는 조합을 나타낸 것으로
효용함수의 일종이다.

효용함수는 문제에서 U(X,Y)라고 표현되는데,
소비량이라는 개념을 인식하고자
필자는 U(Qx, Qy) = 총효용 으로 종종 한다.

필수개념 (미분, 한계효용, 한계대체율)

효용함수는
특정 재화나 서비스의 [소비량]과
그 소비로부터 얻는 [효용]의 관계를
함수의 형태로 표현한 것
(출처: 이규명의 경제학 카페 5 / 소비자의 선택-효용과 제약)이다.

무차별곡선은
여러 X재의 소비량과 Y재의 소비량의 조합 중
동일한 효용(무차별)을 갖는 조합을 나타낸 것으로
효용함수의 일종이다.

효용함수는 문제에서 U(X,Y)라고 표현되는데,
소비량이라는 개념을 인식하고자
필자는 U(Qx, Qy) = 총효용 으로 종종 한다.
문제

효용함수를 x와 y에 대해 각 미분하여
각 한계효용을 도출하고
각 한계효용을 통해 한계대체율을 계산한다.

재화의 성질과 무차별곡선의 형태

(1) 재화, 비재화 (한계효용)
일반적으로 소비량이 증가하면 효용(만족)이 증가하는데, 이를 재화라고 한다.
(한계효용 양수)
반면, 소비량이 증가할 때 효용(만족)이 감소하면, 비재화라고 한다.
(한계효용 음수)

X재가 재화, Y재가 비재화라면
무차별곡선은 양(+)의 기울기(우상향)

ㄴ효용함수의 기울기 = 효용함수의 형태(방향) => 우상향

cf. 함수 접선의 기울기도 함수의 형태를 나타내나
     체증(오목) 체감(볼록)을 나타낸다

ㄴ무차별곡선은 동일한 효용을 얻는 Qx와 Qy의 조합
ㄴ재화 Qx 증가 U 증가, 비재화 Qy 증가 U 감소
ㄴ동일한 효용(무차별)을 얻기 위해선 Qy 증가하여 감소되는 U만큼 최소한 Qx도 증가해서 U를 메꿔야하므로
ㄴQx Qy 둘다 증가 = 효용함수 기울기 우상향


(2) 재화간 관계 (한계대체율)
완전 대체재 (주어진 효용함수가 선형인가?)
대체재, Qx가 증가하면 Qy가 감소하는 관계 = 우하향
효용은 두 재화의 소비량의 합에 의해 결정됨
ㄴ U(Qx,Qy) = a*Qx+b*Qy = 직선
한계대체율은 ( a /b )로 일정

완전 보완재(주어진 효용함수 Min인가?)
보완재, Qx가 증가하면 Qy가 증가하는 관계 = 우상향
효용은 부족한 재화의 양에 의해 결정됨
ㄴ U(Qx,Qy) = min(a*Qx, b*Qy) = 꺽임
한계대체율은 Y= (a/b) X 선을 기준으로
상방은 무한, 하방은 0다

효용함수가 Min(aX,bY)으로 주어지면
aX=bY로 두어 꺽어진 점을 찾고,
꺽어진 점을 기준으로
두 개의 무차별곡선을 구해야 한다.

*min(A,B)
A<B -> min(A,B) = A
A>B -> min(A,B) = B

준선형 효용함수 (한계효용과 한계대체율)

효용함수를 미분해보니,
X재의 한계효용은 [X재 소비량과 관계없이] 일정하고,
Y재의 한계효용은 Y재 소비량이 증가하면 체감한다

한계대체율이 X재 소비량과 관계없고,
[Y재 소비량에 의해서만 결정]되는 효용함수를
X재에 대한 준선형 효용함수라고 한다.

X재에 대한 준선형함수는
[Y재 소비량]에 의해서만 결정되므로
X축과 평행한 직선상에 있는
무차별곡선의 한계대체율은 모두 동일하다

한계대체율 체증

한계대체율을 계산해보니,
Qx 증가 Qy 감소한다면, 한계대체율이 체증한다고 말한다.

이는 무차별곡선이 원점에 대하여 오목한 형태임을 의미하고,
구석해가 생겨
소득 전부를 X재만 소비하거나
Y재만 소비한다는 것을 도출할 수 있다.

한계대체율 체증
= 무차별곡선 오목
= 소득 전부를 한 재화에만 소비

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소비자 균형에 대한 설명 없이
무차별곡선만 설명하는 것은 다소 무의미 하다
다만, 예산선을 구하기 전
한계대체율에 대해 확실히 알아야
소비자 균형을 확실히 이해할 수 있다.